PHP acosh()函数

双曲函数： acosh() 函数用于计算反双曲余弦值，返回参数的反双曲余弦值。

acosh() 函数返回一个数的反双曲余弦值（inverse hyperbolic cosine）。参数必须大于等于 1，返回值为非负实数。

函数语法

acosh(float $num): float

参数说明

参数 类型 描述 必需
$num float 要计算反双曲余弦值的数字，必须大于等于 1 是

返回值

返回参数 $num 的反双曲余弦值，以浮点数形式返回。返回值满足：cosh(acosh(x)) = x。

使用示例

示例1：基本用法 - 计算反双曲余弦值

计算不同数字的反双曲余弦值：

<?php
// 计算反双曲余弦值
echo "acosh(1) = " . acosh(1) . "\n";           // 0
echo "acosh(1.5) = " . acosh(1.5) . "\n";       // 约 0.96242365011921
echo "acosh(2) = " . acosh(2) . "\n";           // 约 1.3169578969248
echo "acosh(3) = " . acosh(3) . "\n";           // 约 1.7627471740391
echo "acosh(5) = " . acosh(5) . "\n";           // 约 2.2924316695612
echo "acosh(10) = " . acosh(10) . "\n";         // 约 2.9932228461264

// 验证 cosh(acosh(x)) = x
$x = 2.5;
$acosh_x = acosh($x);
$cosh_acosh_x = cosh($acosh_x);
echo "x = $x\n";
echo "acosh(x) = $acosh_x\n";
echo "cosh(acosh(x)) = $cosh_acosh_x\n";
echo "验证: " . (abs($cosh_acosh_x - $x) < 0.000001 ? "通过" : "失败") . "\n";

// 处理大数
echo "acosh(100) = " . acosh(100) . "\n";       // 约 5.2982923656105
echo "acosh(1000) = " . acosh(1000) . "\n";     // 约 7.6009022095412
?>

示例2：双曲函数关系验证

验证双曲函数和反双曲函数的关系：

<?php
// 双曲函数关系验证
class HyperbolicFunctions {

    // 计算反双曲余弦的自然对数表示
    public static function acoshByFormula($x) {
        if ($x < 1) {
            throw new InvalidArgumentException("x 必须 >= 1");
        }
        return log($x + sqrt($x * $x - 1));
    }

    // 验证 acosh(x) = ln(x + sqrt(x² - 1))
    public static function verifyAcoshFormula($x) {
        $acosh_value = acosh($x);
        $formula_value = self::acoshByFormula($x);
        $difference = abs($acosh_value - $formula_value);

        return [
            'acosh' => $acosh_value,
            'formula' => $formula_value,
            'difference' => $difference,
            'verified' => $difference < 1e-10
        ];
    }

    // 验证双曲函数性质
    public static function verifyProperties($x) {
        if ($x < 1) return null;

        $y = acosh($x);

        // 性质1: cosh(acosh(x)) = x
        $property1 = cosh($y);

        // 性质2: acosh(cosh(y)) = y (对于 y >= 0)
        $property2 = acosh(cosh($y));

        // 性质3: 导数公式验证
        $derivative = 1 / sqrt($x * $x - 1);

        return [
            'x' => $x,
            'y' => $y,
            'cosh(y)' => cosh($y),
            'property1_error' => abs($property1 - $x),
            'acosh(cosh(y))' => $property2,
            'property2_error' => abs($property2 - $y),
            'derivative' => $derivative
        ];
    }
}

// 测试
echo "公式验证:\n";
$testValues = [1, 1.5, 2, 3, 5, 10];
foreach ($testValues as $x) {
    $result = HyperbolicFunctions::verifyAcoshFormula($x);
    echo "x = $x: acosh = " . round($result['acosh'], 6) .
         ", 公式 = " . round($result['formula'], 6) .
         ", 差异 = " . $result['difference'] .
         ", 验证" . ($result['verified'] ? "通过" : "失败") . "\n";
}

echo "\n双曲函数性质验证:\n";
foreach ([1.5, 2, 3] as $x) {
    $props = HyperbolicFunctions::verifyProperties($x);
    if ($props) {
        echo "x = $x, y = acosh(x) = " . round($props['y'], 4) . "\n";
        echo "  验证 cosh(y) = x: cosh(" . round($props['y'], 4) . ") = " .
             round($props['cosh(y)'], 4) . " (误差: " . round($props['property1_error'], 10) . ")\n";
        echo "  验证 acosh(cosh(y)) = y: " . round($props['acosh(cosh(y))'], 4) .
             " (误差: " . round($props['property2_error'], 10) . ")\n";
        echo "  导数: d(acosh(x))/dx = 1/√(x²-1) = " . round($props['derivative'], 4) . "\n\n";
    }
}
?>

示例3：物理和工程应用

在物理和工程问题中应用acosh()函数：

<?php
// 悬链线计算 (Catenary curve)
class Catenary {
    private $a; // 参数a

    public function __construct($a) {
        if ($a <= 0) {
            throw new InvalidArgumentException("参数a必须大于0");
        }
        $this->a = $a;
    }

    // 计算悬链线方程 y = a * cosh(x/a)
    public function getY($x) {
        return $this->a * cosh($x / $this->a);
    }

    // 计算给定y值对应的x值（使用反双曲函数）
    public function getXFromY($y) {
        if ($y < $this->a) {
            throw new InvalidArgumentException("y必须大于等于a");
        }
        return $this->a * acosh($y / $this->a);
    }

    // 计算悬链线弧长
    public function getArcLength($x1, $x2) {
        return $this->a * (sinh($x2 / $this->a) - sinh($x1 / $this->a));
    }
}

// 使用示例
try {
    $catenary = new Catenary(2);

    echo "悬链线参数 a = 2\n";
    echo "方程: y = 2 * cosh(x/2)\n\n";

    // 计算一些点的坐标
    $xValues = [-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3];
    echo "悬链线上点的坐标:\n";
    foreach ($xValues as $x) {
        $y = $catenary->getY($x);
        echo "x = " . str_pad($x, 4) . " => y = " . round($y, 4) . "\n";
    }

    echo "\n从y值反求x值:\n";
    $yToFind = 3.7622; // cosh(1) ≈ 1.54308, 2*1.54308=3.08616
    if ($yToFind >= 2) {
        $xCalculated = $catenary->getXFromY($yToFind);
        echo "y = $yToFind => x = " . round($xCalculated, 4) . "\n";
        echo "验证: y = " . round($catenary->getY($xCalculated), 4) . "\n";
    }

    // 计算两点间弧长
    $x1 = -2;
    $x2 = 2;
    $arcLength = $catenary->getArcLength($x1, $x2);
    echo "\n从 x=$x1 到 x=$x2 的弧长: " . round($arcLength, 4) . "\n";

} catch (Exception $e) {
    echo "错误: " . $e->getMessage() . "\n";
}

// 相对论中的速度叠加公式（使用双曲函数）
echo "\n相对论速度叠加:\n";
function relativisticVelocityAddition($v1, $v2, $c = 1) {
    // 使用双曲函数: v = c * tanh(atanh(v1/c) + atanh(v2/c))
    $rapidity1 = atanh($v1 / $c);
    $rapidity2 = atanh($v2 / $c);
    $combinedRapidity = $rapidity1 + $rapidity2;
    return $c * tanh($combinedRapidity);
}

$v1 = 0.6;  // 0.6c
$v2 = 0.8;  // 0.8c
$result = relativisticVelocityAddition($v1, $v2);
echo "速度1: {$v1}c, 速度2: {$v2}c, 相对论叠加: " . round($result, 4) . "c\n";
echo "经典力学叠加: " . round($v1 + $v2, 4) . "c (不正确)\n";
?>

示例4：错误处理和边界条件

处理acosh()函数可能出现的错误和边界情况：

<?php
// 安全的acosh函数，包含错误处理
class SafeHyperbolic {

    // 安全的acosh计算
    public static function safeAcosh($x) {
        // 检查输入类型
        if (!is_numeric($x)) {
            throw new InvalidArgumentException("参数必须是数字");
        }

        // 处理浮点精度误差
        $epsilon = 1e-15;

        // 检查边界条件
        if ($x < 1) {
            // 如果非常接近1（由于浮点误差）
            if (abs($x - 1) < $epsilon) {
                return 0.0; // acosh(1) = 0
            }
            throw new RangeException("acosh() 参数必须大于等于 1。输入值: " . $x);
        }

        // 特殊情况的精确值
        if (abs($x - 1) < $epsilon) return 0.0;

        // 大数处理（避免数值问题）
        if ($x > 1e100) {
            // 对于非常大的x，使用近似公式: acosh(x) ≈ ln(2x)
            return log(2 * $x);
        }

        return acosh($x);
    }

    // 计算双曲余弦并验证
    public static function acoshWithVerification($x) {
        $result = self::safeAcosh($x);

        // 验证结果
        $verification = cosh($result);
        $error = abs($verification - $x);

        return [
            'input' => $x,
            'acosh' => $result,
            'verification' => $verification,
            'error' => $error,
            'verified' => $error < 1e-10
        ];
    }

    // 批量计算
    public static function batchAcosh(array $values) {
        $results = [];
        foreach ($values as $index => $value) {
            try {
                $results[$index] = [
                    'value' => $value,
                    'result' => self::safeAcosh($value),
                    'status' => 'success'
                ];
            } catch (Exception $e) {
                $results[$index] = [
                    'value' => $value,
                    'result' => null,
                    'status' => 'error',
                    'message' => $e->getMessage()
                ];
            }
        }
        return $results;
    }
}

// 测试边界条件和错误处理
echo "测试边界条件:\n";
$testCases = [
    1,           // 正常边界
    0.9999999999999999,  // 略小于1
    1.0000000000000001,  // 略大于1
    0,           // 小于1
    -1,          // 负数
    1000,        // 大数
    1e150,       // 非常大的数
    "1.5",       // 字符串数字
    "abc",       // 无效字符串
    NAN,         // NAN
    INF          // 无穷大
];

foreach ($testCases as $testValue) {
    echo "输入: ";
    if (is_nan($testValue)) {
        echo "NAN";
    } elseif (is_infinite($testValue)) {
        echo $testValue > 0 ? "INF" : "-INF";
    } else {
        echo $testValue;
    }

    echo " => ";

    try {
        $result = SafeHyperbolic::safeAcosh($testValue);

        if (is_nan($result)) {
            echo "NAN";
        } elseif (is_infinite($result)) {
            echo $result > 0 ? "INF" : "-INF";
        } else {
            echo round($result, 6);

            // 验证
            if (is_numeric($testValue) && $testValue >= 1) {
                $verification = cosh($result);
                echo " (验证: cosh(acosh(x)) = " . round($verification, 6) . ")";
            }
        }
    } catch (Exception $e) {
        echo "错误: " . $e->getMessage();
    }

    echo "\n";
}

// 批量计算示例
echo "\n批量计算示例:\n";
$values = [1, 2, 3, 0.5, 5, "2.5", 10];
$batchResults = SafeHyperbolic::batchAcosh($values);

foreach ($batchResults as $index => $result) {
    echo "值[" . $index . "] = " . $result['value'] . ": ";
    if ($result['status'] === 'success') {
        echo round($result['result'], 4);
    } else {
        echo $result['message'];
    }
    echo "\n";
}
?>

示例5：科学计算应用

在科学计算和数据分析中使用acosh()函数：

<?php
// 统计中的双曲变换
class StatisticalTransforms {

    // Fisher z变换（用于相关系数的变换）
    public static function fisherZTransform($r) {
        if ($r <= -1 || $r >= 1) {
            throw new InvalidArgumentException("相关系数必须在(-1, 1)范围内");
        }
        return 0.5 * log((1 + $r) / (1 - $r));
    }

    // 反Fisher z变换
    public static function inverseFisherZTransform($z) {
        $e2z = exp(2 * $z);
        return ($e2z - 1) / ($e2z + 1);
    }

    // 使用双曲函数计算几何平均距离
    public static function hyperbolicMean($values) {
        if (empty($values)) {
            throw new InvalidArgumentException("数组不能为空");
        }

        $n = count($values);
        $sum = 0;

        foreach ($values as $value) {
            if ($value < 1) {
                throw new InvalidArgumentException("所有值必须大于等于1");
            }
            $sum += acosh($value);
        }

        return cosh($sum / $n);
    }

    // 计算双曲距离（双曲几何）
    public static function hyperbolicDistance($x1, $y1, $x2, $y2) {
        // 使用双曲余弦定理
        $dx = $x2 - $x1;
        $dy = $y2 - $y1;
        $coshDist = cosh($dx) * cosh($dy) - sinh($dx) * sinh($dy) * cos(M_PI);
        return acosh($coshDist);
    }
}

// 使用示例
echo "Fisher Z变换:\n";
$correlations = [0.1, 0.5, 0.8, -0.3];
foreach ($correlations as $r) {
    try {
        $z = StatisticalTransforms::fisherZTransform($r);
        $r_back = StatisticalTransforms::inverseFisherZTransform($z);
        echo "r = " . str_pad($r, 4) . " => z = " . round($z, 4) .
             " => 反变换 = " . round($r_back, 4) .
             " (误差: " . abs($r - $r_back) . ")\n";
    } catch (Exception $e) {
        echo "r = $r: " . $e->getMessage() . "\n";
    }
}

echo "\n双曲几何平均:\n";
$hyperbolicValues = [1.5, 2.0, 3.0, 4.0];
try {
    $mean = StatisticalTransforms::hyperbolicMean($hyperbolicValues);
    echo "值: " . implode(', ', $hyperbolicValues) . "\n";
    echo "双曲几何平均: " . round($mean, 4) . "\n";

    // 验证
    $individualAcosh = array_map('acosh', $hyperbolicValues);
    $avgAcosh = array_sum($individualAcosh) / count($individualAcosh);
    $calculatedMean = cosh($avgAcosh);
    echo "验证: cosh(平均(acosh(x))) = " . round($calculatedMean, 4) . "\n";
} catch (Exception $e) {
    echo "错误: " . $e->getMessage() . "\n";
}

echo "\n双曲几何距离计算:\n";
// 在双曲平面上计算两点距离
$point1 = [0, 0];
$point2 = [1, 1];
$distance = StatisticalTransforms::hyperbolicDistance(
    $point1[0], $point1[1],
    $point2[0], $point2[1]
);
echo "点1: (" . implode(', ', $point1) . ")\n";
echo "点2: (" . implode(', ', $point2) . ")\n";
echo "双曲距离: " . round($distance, 4) . "\n";

// 数值积分中的双曲替换
echo "\n数值积分示例（使用双曲替换）:\n";
function integrateWithHyperbolicSubstitution($a, $b, $n = 1000) {
    // 计算 ∫√(x²-1) dx 从 a 到 b
    $sum = 0;
    $dx = ($b - $a) / $n;

    for ($i = 0; $i < $n; $i++) {
        $x = $a + ($i + 0.5) * $dx;
        if ($x >= 1) {
            $sum += sqrt($x * $x - 1);
        }
    }

    return $sum * $dx;
}

// 解析解: ∫√(x²-1) dx = (1/2)[x√(x²-1) - acosh(x)]
function exactIntegral($x) {
    if ($x < 1) return 0;
    return 0.5 * ($x * sqrt($x * $x - 1) - acosh($x));
}

$a = 1;
$b = 3;
$numerical = integrateWithHyperbolicSubstitution($a, $b);
$exact = exactIntegral($b) - exactIntegral($a);

echo "数值积分 ∫√(x²-1) dx 从 $a 到 $b:\n";
echo "数值结果: " . round($numerical, 6) . "\n";
echo "精确结果: " . round($exact, 6) . "\n";
echo "误差: " . abs($numerical - $exact) . "\n";
?>

数学原理

反双曲余弦定义

对于任意实数 x ≥ 1，反双曲余弦函数 y = acosh(x) 定义为：

y ≥ 0 使得 cosh(y) = x

其中双曲余弦函数定义为：cosh(y) = (eʸ + e⁻ʸ)/2

定义域： [1, +∞)

值域： [0, +∞)

重要性质和公式
  • 对数表示：acosh(x) = ln(x + √(x² - 1))
  • 导数：d/dx acosh(x) = 1/√(x² - 1)
  • 积分：∫acosh(x)dx = x·acosh(x) - √(x² - 1) + C
  • 关系式：acosh(x) = √2(x-1)¹ᐟ² 当 x→1⁺
  • 渐近线：acosh(x) ≈ ln(2x) 当 x→∞

应用场景

场景 描述 公式/代码
悬链线计算 计算悬链线形状和参数 acosh(y/a) * a
相对论物理 速度叠加和快速性计算 atanh(v/c) 相关
双曲几何 计算双曲空间中的距离 acosh(cosh(dx)cosh(dy)...)
信号处理 双曲滤波器和变换 acosh(frequency_ratio)
数值分析 积分和微分方程求解 ∫acosh(x)dx

注意事项

重要提醒
  • 参数范围：参数必须大于等于 1，小于1会返回 NAN
  • 浮点精度：当参数非常接近1时可能存在数值误差
  • 大数处理：对于非常大的参数，直接计算可能导致数值问题
  • 特殊值：acosh(NAN) 返回 NAN，acosh(INF) 返回 INF
  • 性能：对于大量计算，考虑使用近似公式优化性能

相关函数

cosh()

计算双曲余弦值

asinh()

计算反双曲正弦值

atanh()

计算反双曲正切值

acosh()

计算反双曲余弦值（当前函数）

log()

计算自然对数

sqrt()

计算平方根

常见问题

因为双曲余弦函数cosh(x) = (eˣ + e⁻ˣ)/2的值域是[1, +∞)。对于任何实数x，cosh(x) ≥ 1。因此，反函数acosh(y)的定义域自然就是y ≥ 1。如果y < 1，则没有实数x满足cosh(x) = y。

  • acos()是反余弦函数（inverse cosine），处理普通三角函数
  • acosh()是反双曲余弦函数（inverse hyperbolic cosine），处理双曲函数
  • acos()定义域：[-1, 1]，值域：[0, π]
  • acosh()定义域：[1, +∞)，值域：[0, +∞)
  • acos()与圆函数相关，acosh()与双曲线函数相关

  1. 接近1的值：使用公式 acosh(x) ≈ √(2(x-1)) 当 x→1⁺
  2. 非常大的值：使用近似 acosh(x) ≈ ln(2x) 当 x→∞
  3. 通用情况：使用公式 acosh(x) = ln(x + √(x²-1))，但要避免大数相减
  4. 精度控制：使用高精度数学库（如bcmath）进行关键计算
  5. 错误处理：实现边界检查和使用try-catch块
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